Quiz Classique
Quiz Mathematiques

Quiz Maths : relations d'équivalences

Zorro2000onepiece

Zorro2000onepiece
12 joués - il y a 5 ans

Testez vos connaissances sur cette notion de première importance en théorie des ensembles, et en algèbre !
Ce sera aussi l'occasion pour vous d'en apprendre plus et de voir plus loin sur ce qu'on peut faire avec cet outil.

Difficile
difficile
16
QUESTIONS
normal
 
Question 1 / 16

On ne s'intéressera ici qu'aux relations d'équivalences binaires ; c'est-à-dire, les relations qui mettent en parallèle deux éléments d'un ensemble. Dans la suite E désignera un ensemble et R une relation d'équivalence sur E. Quelle est la propriété que ne respecte pas une telle relation R ?

difficile
 
Question 2 / 16
Soient x et y, deux éléments de E. Notons C(x) la classe d'équivalence de x définie comme sur l'image. À quoi la propriété "xRy" est-elle équivalente pour tout ensemble E et toute relation d'équivalence R ?

Soient x et y, deux éléments de E. Notons C(x) la classe d'équivalence de x définie comme sur l'image. À quoi la propriété "xRy" est-elle équivalente pour tout ensemble E et toute relation d'équivalence R ?

difficile
 
Question 3 / 16

Par la question précédente, on obtient qu'un ensemble est partitionné par une relation d'équivalence. Ainsi, comment pourrait-on définir moins formellement une relation d'équivalence ?

expert
 
Question 4 / 16
Les relations d'équivalences nous permettent de mettre de l'ordre dans les ensembles mathématiques, de la même manière que le fait de ranger correctement les informations dans son cerveau permet une plus grande efficacité. Il est d'usage de considérer l'ensemble E/R, E quotienté par sa relation d'équivalence R. Soit x dans E/R, quel genre d'objet est x ?

Les relations d'équivalences nous permettent de mettre de l'ordre dans les ensembles mathématiques, de la même manière que le fait de ranger correctement les informations dans son cerveau permet une plus grande efficacité. Il est d'usage de considérer l'ensemble E/R, E quotienté par sa relation d'équivalence R. Soit x dans E/R, quel genre d'objet est x ?

difficile
 
Question 5 / 16

À partir de cette question, G désignera un groupe dont la représentation se fera avec la notation multiplicative. Avant de définir une action de groupe, définissons l'application suivante : l'application externe qui va du produit GxE qui va dans E, qui au couple (g,x) associe le produit externe g.x. Que doit-on vérifier avant toutes choses ?

expert
 
Question 6 / 16

Une fois que l'on a pris la précaution mentionnée à la question 5 (ou pas), laquelle de ces deux propositions permet d'obtenir la réflexivité et la symétrie de la relation engendrée par l'application ? (On note e le neutre de G).

normal
 
Question 7 / 16

Même question, mais pour la transitivité ?

expert
 
Question 8 / 16
Comment appelle-t-on l'ensemble décrit par l'image ?

Comment appelle-t-on l'ensemble décrit par l'image ?

expert
 
Question 9 / 16
Et cet ensemble ?

Et cet ensemble ?

difficile
 
Question 10 / 16

Quel automorphisme découle implicitement de l'action de G sur E à gauche ?

difficile
 
Question 11 / 16
En faisant l'analogie avec la question 4, que désigne donc l'ensemble quotient E/G ?

En faisant l'analogie avec la question 4, que désigne donc l'ensemble quotient E/G ?

normal
 
Question 12 / 16

Soit l'exemple d'un morphisme de groupe f de G dans F. Notons e_F le neutre de F et Ker(f) = f^(-1)({e_F}) le noyau de f. Quel est l'intérêt de l'opération G/Ker(f) dans le cas général ?

expert
 
Question 13 / 16

Avant d'en arriver là, il est d'usage de considérer ce qu'on appelle la surjection canonique p qui va de G dans G/Ker(f). Quel est "son travail" ?

expert
 
Question 14 / 16

Ainsi, la factorisation canonique se définit comme tel : il existe une et une seule application c(f) de G/Ker(f) dans Im(f) telle que f = c(f) o p (o est la composition et se lit "rond"). Que cela signifie-t-il moins formellement ?

expert
 
Question 15 / 16

Comme cette propriété n'est valide que si l'on considère c(f) à valeur dans Im(f), il est d'usage de considérer l'ensemble quotient F/Im(f). Comment appelle-t-on cet ensemble dans la littérature ?

difficile
 
Question 16 / 16

Pour finir ce quiz, parlons de réduction. En réduction, on manipule des classes de similitudes ou de conjugaison. Ces classes-là sont l'ensemble des orbites des matrices carrées ou endomorphisme d'un espace vectoriel sous l'ensemble des matrices inversibles ou des automorphismes. Quelle est l'action de groupe qui permet cette étude ? L'application de GxE dans E, qui à (g,x) associe ...